Tejada Tejada, Dimas NoéBraun, FranciscoAvelar Hernández, Pedro Julioah18049@ues.edu.sv2025-04-242025-04-242025-03-28https://hdl.handle.net/20.500.14492/31345La Teorı́a Cualitativa de las Ecuaciones Diferenciales es una rama fundamental de las matemáticas que se enfoca en el estudio del comportamiento de las soluciones de los sistemas de ecuaciones diferenciales sin necesidad de resolverlos explı́citamente. Este enfoque cualitativo es particularmente útil cuando las ecuaciones son difı́ciles o incluso imposibles de resolver me- diante métodos analı́ticos. A través de esta teorı́a, es posible analizar las soluciones globales, su estabilidad, y comportamiento asintótico, lo que esencialmente se da en modelos de fenómenos naturales y sistemas dinámicos. En este trabajo, nos centramos en los conceptos clave de la teorı́a cualitativa, como lo son los campos vectoriales, flujo, y la clasificación de puntos singulares dando atención especial al plano R^2 . Además, exploraremos la compactificación de Poincaré, una técnica que permite la descripción global del diagrama fase de un sistema planar polinomial en un disco (llamado disco de Poincaré), facilitando el estudio del comportamiento de las soluciones en el infinito. Esta herramienta se puede aplicar a problemas concretos en biologı́a, fı́sica y medicina, que se traducen en su utilidad en el modelado de fenómenos reales. El trabajo se estructura en dos partes principales. En el Capı́tulo 1, se presenta los preliminares matemáticos, especialmente para campos de vectores planares, existencia y unicidad, soluciones máximas, y teoremas básicos sobre retratos de fase local. En el Capı́tulo 2, se profundiza en la compactificación de Poincaré de campos vectoriales polinomiales planares, tanto desde un enfoque geométrico como analı́tico, y se ilustra su aplicación a través de ejemplos concretos. The Qualitative Theory of Differential Equations is a fundamental branch of mathematics that focuses on studying the behavior of solutions to systems of differential equations without explicitly solving them. This qualitative approach is particularly useful when the equations are difficult or even impossible to solve using analytical methods. Through this theory, it is possible to analyze global solutions, their stability, and asymptotic behavior, which is essential in modeling natural phenomena and dynamical systems. In this work, we focus on key concepts of qualitative theory, such as vector fields, flow, and the classification of singular points, with special attention given to the plane R^2. Additionally, we explore Poincaré compactification, a technique that allows for a global description of the phase diagram of a planar polynomial system within a disk (called the Poincaré disk), facilitating the study of solution behavior at infinity. This tool can be applied to concrete problems in biology, physics, and medicine, demonstrating its usefulness in modeling real-world phenomena. The work is structured into two main parts. Chapter 1 presents the mathematical preliminaries, particularly for planar vector fields, existence and uniqueness theorems, maximal solutions, and basic theorems on local phase portraits. Chapter 2 delves into the Poincaré compactification of planar polynomial vector fields, addressing both geometric and analytical approaches, and illustrates its application through concrete examples.escampos vectorialesflujopuntos singularescompactificación de Poincarédisco de PoincaréThesis