Browsing by Author "Sifontes Rivas, Yoceman Adony"

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    De la geometría sintética a la geometría hiperbólica
    (2017-09-07) López Argueta, Saúl Fernando; Vásquez Hernández, Wilner Edenilson; Cruz López, Manuel; Hidalgo Castellanos, Ernesto Américo; Sifontes Rivas, Yoceman Adony
    En el presente trabajo daremos una introducción a la geometría hiperbólica bidimensional desde el punto de vista geométrico. Se estudiarán tres modelos de la geometría hiperbólica, los cuales son: el modelo del semiplano superior de Poincaré, el modelo del disco de Poincaré y el modelo de Beltrami-Klein. Para hacer la descripción de estos modelos, necesitamos primero estudiar las herramientas euclidianas que nos servirán para la construcción de los objetos geométricos en cada uno de los modelos. La inversión geométrica y las familias de circunferencias coaxiales serán las herramientas que nos van a servir para hacer las construcciones antes mencionadas. Por lo tanto, en el capítulo 1 definimos la inversión geométrica y sus propiedades, así como también la familia de circunferencias coaxiales y sus propiedades con respecto a la inversión. Habiendo descrito las herramientas principales para hacer una descripción de cada modelo a estudiar de la geometría hiperbólica, describimos en el capítulo 2 los tres modelos antes mencionados, deducimos la métrica hiperbólica en el modelo del disco de Poincaré y estudiamos un poco de trigonometría en el modelo del semiplano superior de Poincaré
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    Dinámica de grupos kleinianos y su extensión a la frontera ideal
    (Universidad de El Salvador, 2023-10) Sifontes Rivas, Yoceman Adony; Cruz López, Manuel; Tejada Tejada, Dimas Noé; sr06002@ues.edu.sv
    En esta investigación, se ha estudiado el comportamiento dinámico de ciertas aplicaciones conformes por pedazos en la esfera de Riemann, bC = C ∪ {∞}. Las aplicaciones están asociadas con grupos kleinianos o equivalentemente, con subgrupos discretos con región de discontinuidad distinta del vacío. Los grupos kleinianos actuán como grupos de isometrías que preservan la orientación en el espacio hiperbólico vía la extensión de Poincaré. En [BS1] se establece: dado un grupo fucshiano Γ infinitamente generado que actúa en el disco de Poincaré D, los autores describen una función continua por pedazos fΓ definida en la frontera ideal ∂D = S1, que refleja las propiedades dinámicas de la acción del grupo. Por otro lado, en [R] y [AR] se extiende la construcción de una función continua por pedazos a grupos kleinianos finitamente generados con la propiedad de Even Corners1 y sin cúspide. En este trabajo se ha analizado el problema de construcción para grupos que contengan alguna cúspide, en particular, para el Grupo de Picard Γ = PSL(2,Z[i]), que actúa propia y discontinuamente en el semiespacio superior H3. Este grupo tiene la propiedad de que tiene una sola cúspide y es de covolumen nito. Se ha definido una función conforme por pedazos fΓ(z) e introducido un sistema simbólico P fΓ para estudiar su dinámica. La estructura de este documento es la siguiente: Capítulo 1: se estudia la definición de grupo kleiniano, propiedades fundamentales del conjunto límite y regular, para finalmente dar a conocer los ejemplos clásicos: grupos fuchsianos, en especial el grupo Modular y el grupo de Picard, los cuales son ejemplos de grupos con una sola cúspide. Capítulo 2: en este capítulo se introducen algunos elementos de dinámica simbólica para posteriormente estudiar las construcciones de aplicaciones continuas por pedazos en las fronteras ideales de H2 y H3 respectivamente, las cuales están asociadas a grupos fuchsianos [BS1] y grupos kleinianos finitamente generados, sin cúspide [AR], finalmente se ajustan y presentan las construcciones previas para grupos kleinianos con alguna cúspide y se define una función asociada al grupo de Picard en bC = ∂H3. Capítulo 3: utilizando elementos de dinámica simbólica, se estudia la función fΓ, la cual se define por primera vez en [BS1] como una función continua por pedazos asociada al grupo modular; para dicha función se establecen resultados referentes a la naturaleza de sus órbitas periódicas y cómo encontrarlas. Capítulo 4: finalmente, se estudia la dinámica de una función fΓ asociada al grupo de Picard, la cual está definida en bC= ∂H3, dicha función está inspirada en las construcciones de [BS1], [R] y [AR]. Por otro lado, se demuestran algunas propiedades dinámicas referentes a la existencia, naturaleza de órbitas periódicas y cómo calcularlas; así como también se presentan resultados referentes a la dinámica de las componentes regulares asociadas de fΓ y un Teorema de clasificación dinámica para fΓ, el cual sugiere el comportamiento de las funciones asociadas a grupos kleinianos más generales, particularmente, grupos kleinianos con más de una cúspide.
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    Geometría hiperbólica y conjuntos límites de grupos Kleinianos: grupos Quasifuchsianos y algunas degeneraciones
    (2015-12-01) Sifontes Rivas, Yoceman Adony; Peña Aguilar, Simón Alfredo; Díaz, Raquel
    El objetivo de este trabajo es dar una introducción a la geometría hiperbólica, tanto del plano como del espacio, estudiando los modelos de Poincaré del plano y el espacio. Aprovecharemos la oportunidad para definir la teoría de grupos Kleinianos y estudiar principalmente los Grupos Quasifuchsianos los cuales son grupos Kleinianos cuyo conjunto límite está contenido en una curva de Jordan invariante. Si el límite del conjunto es igual a la curva de Jordan el grupo Quasifuchsiano se dice que es de tipo uno, y de lo contrario, se dice que es de tipo dos. Algunos autores utilizan “grupo Quasifuchsiano” como “grupo Quasifuchsiano del tipo I”, en otras palabras, el límite establecido es toda la curva de Jordan. Esta terminología es incompatible con el uso de los términos “tipo I” y “tipo II” para grupos Kleinianos: todos los grupos Quasifuchsianos son grupos Kleinianos del tipo II (incluso si son grupos Quasifuchsianos de tipo I), ya que sus conjuntos límite son subconjuntos propios de la esfera de Riemann. El caso especial cuando la curva de Jordan es un círculo o línea se llama un grupo Fuchsiano, en honor a Lázaro Fuchs