Maestría en Matemática Fundamental

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https://hdl.handle.net/20.500.14492/170

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    Álgebra local y algoritmos
    (2017-04-01) Ruiz Mejía, Mario Alexis; Alonso García, María Emilia
    En la literatura clásica sobre anillos locales y anillos henselianos, la henselización de un anillo local, se construye como límite inductivo sobre la familia de anillos que resulta “extendiendo” el anillo base con raíces simples de polinomios. El interés de estudiar en geometría la henselización Rh de un anillo local (R;m;k), es que para el caso k = R ó C, las propiedades analíticas de las variedades algebraicas en un punto se pueden estudiar en el anillo henseliano Rh, que se encuentra comprendido entre el anillo R y su completado ^R: R C Rh C ^R. Este anillo Rh tiene la característica de ser el “más pequeño” donde el Teorema de la Función Implícita (TFI) se verifica. El objetivo es hacer efectivo el teorema que llamamos de representación, el cual permite hacer división en anillos henselianos en sentido débil pues no hay unicidad. La demostración se hace aplicando técnicas y herramientas computacionales, la cual permite formular un algoritmo. Terminamos nuestro trabajo, explicando en un ejemplo particular cómo se aplica el algoritmo formulado.
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    Geometría hiperbólica y conjuntos límites de grupos Kleinianos: grupos Quasifuchsianos y algunas degeneraciones
    (2015-12-01) Sifontes Rivas, Yoceman Adony; Peña Aguilar, Simón Alfredo; Díaz, Raquel
    El objetivo de este trabajo es dar una introducción a la geometría hiperbólica, tanto del plano como del espacio, estudiando los modelos de Poincaré del plano y el espacio. Aprovecharemos la oportunidad para definir la teoría de grupos Kleinianos y estudiar principalmente los Grupos Quasifuchsianos los cuales son grupos Kleinianos cuyo conjunto límite está contenido en una curva de Jordan invariante. Si el límite del conjunto es igual a la curva de Jordan el grupo Quasifuchsiano se dice que es de tipo uno, y de lo contrario, se dice que es de tipo dos. Algunos autores utilizan “grupo Quasifuchsiano” como “grupo Quasifuchsiano del tipo I”, en otras palabras, el límite establecido es toda la curva de Jordan. Esta terminología es incompatible con el uso de los términos “tipo I” y “tipo II” para grupos Kleinianos: todos los grupos Quasifuchsianos son grupos Kleinianos del tipo II (incluso si son grupos Quasifuchsianos de tipo I), ya que sus conjuntos límite son subconjuntos propios de la esfera de Riemann. El caso especial cuando la curva de Jordan es un círculo o línea se llama un grupo Fuchsiano, en honor a Lázaro Fuchs
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    Resoluciones libres de variedades proyectivas y técnicas de cohomologia de fibrados
    (2016-12-01) Martínez Barahona, Ingrid Carolina; Palacios, José René; Rodrigo Gallego, Francisco Javier
    La geometría algebraica es una combinación entre geometría y álgebra. El objeto de estudio de la geometría algebraica son las variedades afines y proyectivas, las variedades son los ceros comunes de un conjunto polinomios. Geométricamente las variedades son curvas, superficies o variedades de dimensión superior. Es así que propiedades geométricas se pueden estudiar desde el punto de vista algebraico. Las variedades proyectivas tienen propiedades geométricas intrínsecas (es decir que no dependen de la inmersión particular de la variedad) como por ejemplo la irreducibilidad, propiedad geométrica que puede estudiarse a través del ideal de la variedad, ya que si el campo sobre el que trabajamos es algebraicamente cerrado, la variedad es irreducible si y sólo si el ideal de la variedad es un ideal primo. Hay muchas propiedades geométricas como la dimensión, la naturaleza de la intersección de curvas o el carácter liso o singular de una variedad entre otras que se pueden estudiar de manera algebraica. Una variedad tiene también propiedades extrínsecas, como el grado, que dependen de la inmersión en el espacio proyectivo. Tanto el grado como la dimensión se pueden obtener a partir del polinomio de Hilbert y este a su vez se obtiene de la resolución de un anillo de coordenadas de la variedad.