Clasificación de superficies compactas através de la representación planar y la demostración del teorema de Seifert-Van Kampen
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Date
2016-02-03
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Una delas áreas más importantes para todo matemático es la topología, ya que se encuentra presente en casi todas las áreas de las matemáticas: en el álgebra, la geometría, en análisis, etc. Sus métodos y sus resultados facilitan el tratamiento de numerosos problemas e incluso permiten abordar otros que no tienen un origen estrictamente topológico. Uno de los problemas básicos en topología es determinar si dos espacios topológicos dados son homeomorfos. No hay un método para resolver este problema en general, pero existen técnicas que se aplican en casos particulares. Demostrar que dos espacios son homeomorfos consiste en construir una aplicación continua de uno en otro que tenga inversa continua, y para resolver el problema de construcción de aplicaciones continuas, se han desarrollado una serie de técnicas que permiten tales construcciones. Se presentan algunos invariantes topológicos de naturaleza algebraica, tal como el grupo fundamental, además se desarrollara la clasificación de superficies compactas utilizando su representación planar. Esto exige un cierto conocimiento de la teoría de grupos, y especialmente, de la teoría de grupos abelianos o conmutativos. Se trata, en esencia, de asociar ciertas estructuras algebraicas (especialmente ciertos grupos algebraicos y ciertos homomorfismos de grupos) a los espacios topológicos y a las aplicaciones continuas definidas entre estos espacios. En el primer capítulo la clasificación de superficies compactas utilizando su representación planar en el segundo capítulo se define el grupo fundamental y sus propiedades y por último se hará la demostración del teorema de Seifert y Van Kampen.
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Keywords
Topología, teorema de seifert-van kampen, matemática