Espacios lentes L(P,Q)
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Date
2024-07-11
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Resumen:
Objetivos: Este informe tiene como propósito analizar los espacios lentes L(p, q) como una clase importante de 3-variedades, destacando su construcción, propiedades topológicas y aplicaciones en contextos matemáticos y físicos.
Metodología: Se parte de una revisión de los fundamentos de topología de 3-variedades, abordando conceptos como recubrimientos, grupo fundamental y la esfera tridimensional S³. A continuación, se estudia la definición formal de los espacios lentes L(p, q), su construcción mediante acciones de grupos cíclicos, y su equivalencia con la operación topológica del llenado de Dehn. También se emplea el diagrama de Heegaard para visualizar su estructura.
Resultados: Se detallan las características geométricas y algebraicas de los espacios lentes, incluyendo su grupo fundamental y grupos de homología. Se presentan criterios de clasificación topológica y se explican las condiciones para que dos espacios L(p, q) sean homeomorfos. Asimismo, se muestran ejemplos relevantes que ilustran las distintas propiedades de estos espacios.
Conclusiones: Los espacios lentes L(p, q) representan una herramienta clave para el estudio de 3-variedades, gracias a su versatilidad en construcción y su papel en teorías como la clasificación de variedades y la teoría de cuerdas. Su análisis permite comprender mejor la relación entre geometría, topología y física matemática.
Abstract:
Objectives: This report aims to analyze Lens Spaces L(p, q) as a significant class of 3-manifolds, highlighting their construction, topological properties, and applications in mathematical and physical contexts.
Methodology: The study begins with a review of the foundations of 3-manifold topology, covering concepts such as covering spaces, the fundamental group, and the 3-sphere S³. It then examines the formal definition of Lens Spaces L(p, q), their construction via cyclic group actions, and their equivalence to the Dehn filling operation. The Heegaard diagram is also used to visualize their structure.
Results: The geometric and algebraic characteristics of Lens Spaces are detailed, including their fundamental group and homology groups. Topological classification criteria are discussed, along with conditions for when two L(p, q) spaces are homeomorphic. Relevant examples illustrate the distinct properties of these spaces.
Conclusions: Lens Spaces L(p, q) are a key tool for studying 3-manifolds due to their versatile construction and role in theories such as manifold classification and string theory. Their analysis enhances the understanding of the connection between geometry, topology, and mathematical physics.
Description
Keywords
espacios lentes, 3-variedades, grupo cíclico, topología, S3, Llenado de Dehn, Diagrama de Heegaard