Transformaciones de Möbius: clasificación y aplicaciones
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Date
2009-12-01
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La teoría básica de las Transformaciones de Möbius, es decir similitudes (traslación, rotación y dilatación). Por la definición de las transformaciones de Möbius, se puede decir que las similitudes, que son las transformaciones de la forma S(z) = az + b , son
casos particulares de las transformaciones de Möbius. Es por ello que se estudiará
detenidamente desde un enfoque analítico y geométrico cada una de ellas, así
como también la inversión compleja, la inversión geométrica y la proyección
estereográfica. Se estudiarán las principales propiedades de las transformaciones de Möbius, entre estas que las transformaciones de Möbius son transformaciones conformes y que dejan invariante la razón cruzada, así como también una propiedad que es muy importante para su clasificación; toda transformación de Möbius no degenerada tiene a lo sumo dos puntos fijos, a menos que sea la identidad. Se clasificarán las Transformaciones de Möbius según sus puntos fijos, ilustrando el comportamiento analítico y geométrico de cada clase resultante: parabólicas, hiperbólicas, loxodrómicas y elípticas. Así mismo, se estudiará otra clasificación de transformaciones Möbius de acuerdo a la traza de la matriz que determina cada transformación de Möbius.
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Keywords
Transformaciones de möbius, modelo del disco de poincaré, similitudes, matemática