Licenciatura en Matemática

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https://hdl.handle.net/20.500.14492/120

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Browsing Licenciatura en Matemática by Author "Aparicio Ramírez, José Joaquín"

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    Cirugía en 3-variedades
    (2024-10) Hernández Cuadra, Francisco Daniel; Aparicio Ramírez, José Joaquín; hc19019@ues.edu.sv
    Esta investigación presenta una introducción a la cirugía en 3-variedades, tomando conceptos básicos de topología sobre 3-variedades; La topología de 3-variedades es el estudio de espacios tridimensionales que, localmente, se comportan como el espacio euclidiano tridimensional. Estos espacios, conocidos como 3-variedades, son esenciales en el análisis de estructuras geométricas y topológicas. Un ejemplo simple de una 3-variedad es el propio espacio en el que vivimos, R3, pero también existen ejemplos más abstractos, como la esfera tridimensional S3 o el toro tridimensional. y nudos topológicos; para luego ver cómo se realizar el proceso de cirugía manera descriptiva y luego validando todos esos procesos mediante la cirugía de Dehn. Finalizando en una aplicación, que una de ellas es en la conjetura de Poincaré,Esta conjetura fue un desafío central en la topología durante gran parte del siglo XX, ya que si bien existía una comprensión profunda de las esferas en dimensiones superiores o inferiores, la dimensión tres resultó ser especialmente difícil. Finalmente, en 2003, el matemático ruso Grigori Perelman demostró la conjetura utilizando herramientas avanzadas de la geometría y la topología, completando una serie de trabajos iniciados por el teorema de geometrización de Thurston. Su demostración fue revolucionaria y llevó a la resolución de uno de los problemas más fundamentales de la matemática, ganándole a Perelman el reconocimiento mundial y la Medalla Fields, que rechazó.Ahora se llama Teorema de Poincaré This research presents an introduction to surgery on 3-manifolds, starting with basic topology concepts related to 3-manifolds. The topology of 3-manifolds is the study of three-dimensional spaces that locally behave like three-dimensional Euclidean space. These spaces, known as 3-manifolds, are essential in the analysis of geometric and topological structures. A simple example of a 3-manifold is the very space we live in, R3, but there are also more abstract examples such as the three-dimensional sphere S3 or the three-dimensional torus, and topological knots. We then explore how the surgery process is performed descriptively, followed by the validation of these processes through Dehn surgery. Finally, we conclude with an application, one of which is related to the Poincaré conjecture. This conjecture was a central challenge in topology throughout much of the 20th century. While there was a deep understanding of spheres in higher or lower dimensions, the three-dimensional case proved to be particularly difficult. Finally, in 2003, the Russian mathematician Grigori Perelman proved the conjecture using advanced tools from geometry and topology, completing a series of works initiated by Thurston’s Geometrization Theorem. His proof was revolutionary and led to the resolution of one of the most fundamental problems in mathematics, earning Perelman worldwide recognition and the Fields Medal, which he declined. It is now known as the Poincaré Theorem.
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    Invariantes topologicos en 3-Variedades
    (2024-09-09) Salamanca Argueta, Kevin Gustavo; Aparicio Ramírez, José Joaquín; sa19032@ues.edu.sv
    RESUMEN: Este trabajo proporciona una introducción a los conceptos básicos de la topología, enfocándose en las n-variedades y, más específicamente, en las 3-variedades. Se discuten los invariantes topológicos, tales como la característica de Euler y el grupo fundamental, y se presentan ejemplos concretos de su aplicación en el estudio de las 3-variedades y los nudos topológicos. A través de este análisis, se pretende ofrecer una visión general y comprensible de cómo estos conceptos fundamentales de la topología pueden aplicarse para explorar y comprender la estructura y propiedades de los espacios en diversas dimensiones. ABSTRACT: This paper provides an introduction to the basic concepts of topology, focusing on n-manifolds and, more specifically, on 3-manifolds. Topological invariants, such as the Euler characteristic and the fundamental group, are discussed, and concrete examples of their application in the study of 3-manifolds and topological knots are presented. Through this analysis, the paper aims to offer a general and comprehensible overview of how these fundamental concepts of topology can be applied to explore and understand the structure and properties of spaces in various dimensions.