Licenciatura en Matemática

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https://hdl.handle.net/20.500.14492/120

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Browsing Licenciatura en Matemática by Author "Aparicio Ramírez, José Joaquín"

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    Cirugía en 3-variedades
    (2024-10) Hernández Cuadra, Francisco Daniel; Aparicio Ramírez, José Joaquín; hc19019@ues.edu.sv
    Esta investigación presenta una introducción a la cirugía en 3-variedades, tomando conceptos básicos de topología sobre 3-variedades; La topología de 3-variedades es el estudio de espacios tridimensionales que, localmente, se comportan como el espacio euclidiano tridimensional. Estos espacios, conocidos como 3-variedades, son esenciales en el análisis de estructuras geométricas y topológicas. Un ejemplo simple de una 3-variedad es el propio espacio en el que vivimos, R3, pero también existen ejemplos más abstractos, como la esfera tridimensional S3 o el toro tridimensional. y nudos topológicos; para luego ver cómo se realizar el proceso de cirugía manera descriptiva y luego validando todos esos procesos mediante la cirugía de Dehn. Finalizando en una aplicación, que una de ellas es en la conjetura de Poincaré,Esta conjetura fue un desafío central en la topología durante gran parte del siglo XX, ya que si bien existía una comprensión profunda de las esferas en dimensiones superiores o inferiores, la dimensión tres resultó ser especialmente difícil. Finalmente, en 2003, el matemático ruso Grigori Perelman demostró la conjetura utilizando herramientas avanzadas de la geometría y la topología, completando una serie de trabajos iniciados por el teorema de geometrización de Thurston. Su demostración fue revolucionaria y llevó a la resolución de uno de los problemas más fundamentales de la matemática, ganándole a Perelman el reconocimiento mundial y la Medalla Fields, que rechazó.Ahora se llama Teorema de Poincaré This research presents an introduction to surgery on 3-manifolds, starting with basic topology concepts related to 3-manifolds. The topology of 3-manifolds is the study of three-dimensional spaces that locally behave like three-dimensional Euclidean space. These spaces, known as 3-manifolds, are essential in the analysis of geometric and topological structures. A simple example of a 3-manifold is the very space we live in, R3, but there are also more abstract examples such as the three-dimensional sphere S3 or the three-dimensional torus, and topological knots. We then explore how the surgery process is performed descriptively, followed by the validation of these processes through Dehn surgery. Finally, we conclude with an application, one of which is related to the Poincaré conjecture. This conjecture was a central challenge in topology throughout much of the 20th century. While there was a deep understanding of spheres in higher or lower dimensions, the three-dimensional case proved to be particularly difficult. Finally, in 2003, the Russian mathematician Grigori Perelman proved the conjecture using advanced tools from geometry and topology, completing a series of works initiated by Thurston’s Geometrization Theorem. His proof was revolutionary and led to the resolution of one of the most fundamental problems in mathematics, earning Perelman worldwide recognition and the Fields Medal, which he declined. It is now known as the Poincaré Theorem.
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    Invariantes topologicos en 3-Variedades
    (2024-09-09) Salamanca Argueta, Kevin Gustavo; Aparicio Ramírez, José Joaquín; sa19032@ues.edu.sv
    RESUMEN: Este trabajo proporciona una introducción a los conceptos básicos de la topología, enfocándose en las n-variedades y, más específicamente, en las 3-variedades. Se discuten los invariantes topológicos, tales como la característica de Euler y el grupo fundamental, y se presentan ejemplos concretos de su aplicación en el estudio de las 3-variedades y los nudos topológicos. A través de este análisis, se pretende ofrecer una visión general y comprensible de cómo estos conceptos fundamentales de la topología pueden aplicarse para explorar y comprender la estructura y propiedades de los espacios en diversas dimensiones. ABSTRACT: This paper provides an introduction to the basic concepts of topology, focusing on n-manifolds and, more specifically, on 3-manifolds. Topological invariants, such as the Euler characteristic and the fundamental group, are discussed, and concrete examples of their application in the study of 3-manifolds and topological knots are presented. Through this analysis, the paper aims to offer a general and comprehensible overview of how these fundamental concepts of topology can be applied to explore and understand the structure and properties of spaces in various dimensions.
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    Nudos en variedades no triviales
    (Universidad de El Salvador, 2024) Martínez Laínez, Esdras Wualiberto; Aparicio Ramírez, José Joaquín; ml11031@ues.edu.sv
    Resumen:Las variedades no triviales son espacios topológicos que tienen estructuras complejas y propiedades topológicas que las distinguen de variedades más simples, como la esfera. En el contexto de 3-variedades, una variedad es no trivial si no es homeomorfa a la 3-esfera (S3). Estas variedades presentan características topológicas y geométricas que hacen que su estudio sea fundamental en la topología y la geometría. En general, una variedad es un espacio topológico que, localmente, se asemeja a un espacio euclidiano (Rn) de alguna dimensión (n). De las muchas variedades no triviales que existen tratamos dos: El toro y las superficies de Seifert. En el toro definimos lo que son los nudos toricos que son un tipo especial de nudo que se pueden describir como aquellos que residen en la superficie de un toro embebido en el espacio tridimensional (R3) o en la 3-esfera (S3). Y las superficies que forman el espacio de Seifert que es una 3-variedad que admite una foliación en círculos, es decir, una descomposición en fibras donde cada fibra es homeomorfa a S1. Abstrac: Non-trivial manifolds are topological spaces that have complex structures and topological properties that distinguish them from simpler manifolds, such as the sphere. In the context of 3-manifolds, a manifold is non-trivial if it is not homeomorphic to the 3-sphere (S3). These varieties present topological and geometric characteristics that make their study fundamental in topology and geometry. In general, a manifold is a topological space that locally resembles a Euclidean space (Rn) of some dimension (n). Of the many non-trivial varieties that exist, we discuss two: The torus and the Seifert surfaces. In the torus we define what toric knots are, which are a special type of knot that can be described as those that reside on the surface of a torus embedded in the three-dimensional space (R3) or in the 3-sphere (S3). And the surfaces that form the Seifert space, which is a 3-manifold that admits a foliation in circles, that is, a division into fibers where each fiber is homeomorphic to S1.
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    Nudos Satélite en 3-Variedades
    (2024) Vasquez; Aparicio Ramírez, José Joaquín; vr16004@ues.edu.sv
    Resumen. OBJETIVO. Este informe tiene como objetivo analizar los nudos satélite en 3-variedades, describiendo su definición, métodos de construcción, propiedades topológicas e importancia dentro de la teoría de nudos. METODOLOGIA. Se realizó una revisión exhaustiva de la teoría de nudos, enfocándose en los conceptos de nudo patrón, nudo compañero y toro sólido. Se aplicaron técnicas topológicas para describir su construcción y se emplearon invariantes como el polinomio de Alexander y el polinomio de Jones para su clasificación. RESULTADOS. Se identificaron las características distintivas de los nudos satélite y se analizaron sus invariantes topológicos. Además, se destacó su relevancia en aplicaciones prácticas como la biología molecular y la física. CONCLUSIÓN. Los nudos satélite presentan una estructura compleja derivada de la interacción entre el nudo patrón y el nudo compañero, lo que los convierte en objetos de estudio fundamentales en la teoría de nudos y sus aplicaciones. Abstract. Objectives. This report aims to analyze satellite knots in 3-manifolds, describing their definition, construction methods, topological properties, and importance within knot theory. Methodology. An exhaustive review of knot theory was conducted, focusing on the concepts of pattern knot, companion knot, and solid torus. Topological techniques were applied to describe their construction, and invariants such as the Alexander polynomial and the Jones polynomial were used for their classification. Results. The distinctive characteristics of satellite knots were identified, and their topological invariants were analyzed. Their relevance in practical applications, such as molecular biology and physics, was also highlighted. Conclusions. Satellite knots present a complex structure derived from the interaction between the pattern knot and the companion knot, making them fundamental objects of study in knot theory and its applications.
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    Toplogía de Contacto
    (2024-08-16) Ventura Ruíz, César Alfredo; Aparicio Ramírez, José Joaquín; vr16038@ues.edu.sv
    El presente estudio tiene como objetivo proporcionar una visión comprensiva y actualizada de los desarrollos más recientes en la topología de contacto de las 3-variedades. La topología de contacto, una rama de la geometría diferencial, ha experimentado un crecimiento significativo en las últimas décadas, revelando la riqueza y complejidad de las estructuras de contacto en dimensiones impares. Este campo destaca por su notable flexibilidad, en contraste con la rigidez que caracteriza a las variedades simplécticas. En particular, se ha demostrado que cualquier variedad de dimensión impar que cumpla con ciertas condiciones algebraico-topológicas, conocidas como estructuras casi de contacto, puede admitir una estructura de contacto. Esta propiedad abre un amplio abanico de posibilidades para la construcción y clasificación de variedades de contacto. Contact topology, as an independent discipline, was established in 1896 with Sophus Lie’s monumental work on contact transformations. Lie traces the genealogy of contact geometric notions back to Christiaan Huygens’ work on geometric optics in the Traité de la Lumière of 1690, or even to Apollonius of Perga’s Conica from the 3rd century BC, and to nearly all the famous mathematicians of the 18th and 19th centuries. The aim of this study is to present the current results on contact geometry in 3-manifolds. This area of study has developed significantly, revealing that contact manifolds, compared to symplectic manifolds, offer greater flexibility. Any odd-dimensional manifold satisfying an algebraic-topological condition (more precisely, almost contact) admits a contact structure. The interaction between contact geometry and foliation theory is of particular interest, as it provides an enriching perspective on how contact structures relate to foliations in three-dimensional manifolds. Special effort has been made to make this study accessible to a broad audience, facilitating the understanding of the most recent concepts and results in this field.