Licenciatura en Matemática

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https://hdl.handle.net/20.500.14492/162

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Aplicación de los anillos noetherianos conmutativos y las variedades algebraicas afines en la demostración del teorema de los ceros de Hilbert
(2011-08-26) Portillo Rivas, Zenón; Campos Chiquillo, Álvaro; Corcio López de Beltrán, Claudia Patricia; Martínez Barahona, Ingrid Carolina
Se desarrolla un estudio de todas las herramientas necesarias para llegar al teorema de los ceros de Hilbert el cual luego se demuestra en sus formas débil y fuerte. Se introducen los conceptos básicos relacionados con los anillos noetherianos y las variedades algebraicas afines que son fundamentales para el estudio del teorema de los ceros de Hilbert. Es por ello que estudiamos detenidamente el concepto de ideal primo e ideal primario, como también las distintas operaciones entre ideales, en particular la descomposición primaria de ideales. En seguida se desarrollan las demostraciones de algunos de los teoremas importantes de los anillos noetherianos, haciendo uso de la descomposición primaria de un ideal y un resultado fundamental: el teorema de la base de Hilbert. Además se desarrollan las definiciones, proposiciones, teoremas de una variedad algebraica afín y el ideal asociado a una variedad, así como también el ideal de una variedad y lo más interesante es la descomposición de ideales en variedades algebraicas afines, como la condición de cadena descendente de variedades. También se hace la aplicación de los resultados obtenidos en los capítulos anteriores, para demostrar el teorema de los ceros de Hilbert en su forma dedil así como en la forma fuerte. Finalmente adoptamos una Topología que es muy débil pero sorprendentemente útil ocupando los resultados anteriores, probando propiedades que cumple esta topología como la cerradura topológica y compacidad.
Clasificación de superficies compactas através de la representación planar y la demostración del teorema de Seifert-Van Kampen
(2016-02-03) Flores Tejada, Jorge Balmore; Hidalgo Castellanos, Ernesto Américo
Una delas áreas más importantes para todo matemático es la topología, ya que se encuentra presente en casi todas las áreas de las matemáticas: en el álgebra, la geometría, en análisis, etc. Sus métodos y sus resultados facilitan el tratamiento de numerosos problemas e incluso permiten abordar otros que no tienen un origen estrictamente topológico. Uno de los problemas básicos en topología es determinar si dos espacios topológicos dados son homeomorfos. No hay un método para resolver este problema en general, pero existen técnicas que se aplican en casos particulares. Demostrar que dos espacios son homeomorfos consiste en construir una aplicación continua de uno en otro que tenga inversa continua, y para resolver el problema de construcción de aplicaciones continuas, se han desarrollado una serie de técnicas que permiten tales construcciones. Se presentan algunos invariantes topológicos de naturaleza algebraica, tal como el grupo fundamental, además se desarrollara la clasificación de superficies compactas utilizando su representación planar. Esto exige un cierto conocimiento de la teoría de grupos, y especialmente, de la teoría de grupos abelianos o conmutativos. Se trata, en esencia, de asociar ciertas estructuras algebraicas (especialmente ciertos grupos algebraicos y ciertos homomorfismos de grupos) a los espacios topológicos y a las aplicaciones continuas definidas entre estos espacios. En el primer capítulo la clasificación de superficies compactas utilizando su representación planar en el segundo capítulo se define el grupo fundamental y sus propiedades y por último se hará la demostración del teorema de Seifert y Van Kampen.
Clasificación y estructura de grupos finitos con apoyo del recurso computacional GAP (Groups, Algorithms, Programming)
(2013-09-01) Ruiz Mejía, Mario Alexis; Martínez Barahona, Ingrid Carolina
La presente memoria se desarrolla dentro del marco de la Teoría de Grupos Finitos; concretamente se estudia la relación existente entre la estructura de un grupo y los tamaños de las órbitas de conjugación de sus elementos. Estudiar el orden de un grupo es una forma clásica para obtener información sobre las propiedades estructurales de él. En los últimos años se han abierto nuevas líneas de investigación que dan cabida al estudio estructural del grupo a partir de los tamaños de ciertos tipos subconjuntos: subgrupos, subgrupos cíclicos, subgrupos normales, órbitas, p-subgrupos de Sylow, normalizadores, estabilizadores, centralizadores, entre otros. Un área poco investigada, con aplicaciones en el propio campo, otras áreas de la matemática y ciencias.
Grupos de lie de matrices reales o complejos
(2011-11-01) Aguilar Martínez, Edwin Alexander; Peña Aguilar, Simón Alfredo; Campos Granados, Walter Otoniel
Como la historia lo viene diciendo, en general los resultados importantes y trascendentales en Matemática son los capaces de vincular dos estructuras, en su esencia, totalmente distintas. En el año 1973, el matemático Noruego Marius Sophus Lie (1849-1925) estudiando propiedades de soluciones de sistemas de ecuaciones diferenciales, dio origen a las ideas que conformaron la hoy denominada Teoría de Lie, la cual plantea la relación entre geometría, álgebra y la topología, este matemático creó en gran parte la teoría de la simetría continua, y la aplicó al estudio de la geometría y las ecuaciones diferenciales. Con aportes posteriores de los matemáticos Weyl, Cartan, Chevalley, Killing, Harish Chandra y otros estructuran la teoría de Lie, se presentan en este trabajo de investigación las nociones básicas que subyacen en dicha teoría. En los primeros trabajos de Sophus Lie, la idea subyacente era construir una teoría de grupos continuos, que complementara la ya existente teoría de grupos.
Introducción al homeomorfismo de rotación en grupos abelianos compactos
(2013-11-01) Aguilar Flores, Saraí Elizabeth; Quintanilla, Yeris Geovany; Lovo Córdoba, Mauricio Hernán; Palacios Barrera, José René
El presente trabajo es una introducción a los homeomorfismos de rotación en un grupo abeliano compacto G. Se establecen las equivalencias entre rotación minimal, grupo monotético con generador y rotación ergódica para un α ϵ G, particularizando para S1 y Tn. Fundamentándose los resultados en las teorías básicas de álgebra abstracta, topología y teoría de la medida, específicamente espacios de Hilbert, series de Fourier y medida de Haar.
El Teorema de Alaoglu y sus aplicaciones
(2022-02-04) Sibrián Morales, Madeline Patricia; Chicas Reyes, Gabriel Alexander; Ramírez Flores, Aarón Ernesto
El Teorema de Alaoglu es un resultado sumamente importante del Análisis Funcional, este resultado fue publicado inicialmente por Stefan Banach en 1932, donde demostró este teorema para espacios vectoriales normados separables; la primera prueba para el caso general fue publicada en 1940 por Leonidas Alaoglu. El objetivo de este trabajo va más allá de estudiar el Teorema de Alaoglu, es más bien, estudiar a fondo cada una de las herramientas necesarias para enunciarlo y demostrarlo; además, analizaremos diversas aplicaciones de este en otras ramas de la Matemática. La importancia del resultado, radica en que obtenemos la propiedad de compacidad de la bola cerrada unitaria sobre el espacio dual de un espacio vectorial topológico, trabajado con la topología débil-*, lo cual no sucede de forma general.
El teorema local de GAUSS-BONNET
(2015-01-01) Rodríguez Argueta, Wendy Stefanía; Velásquez Orellana, Erick Ulises; Campos Granados, Walter Otoniel; Aguilar Martínez, Edwin Alexander
Se presentan los fundamentos teóricos que sustentan nuestra investigación, definiendo lo que es superficie regular, que es sobre lo que estaremos trabajando, así como también, el plano tangente en un punto p de dicha superficie y la primera forma fundamental con la que podemos tratar cuestiones métricas sobre una superficie regular. El objetivo del Capítulo Dos es estudiar la geometría local de la superficie como la clasificación de puntos que nos dará la forma de la superficie en el entorno de un punto, además presentar las diferentes tipos de curvas que pasan por un punto p de la superficie regular. Se presenta la versión local del Teorema de Gauss-Bonnet y una fórmula general de mismo, para luego ilustrar sobre algunas aplicaciones del teorema en su evolución global en la física teórica.
Teoría de multiplicidad aplicado a la fórmula límite de Samuel
(2011-08-01) Pérez Benítez, Maira Raquel; Martínez Barahona, Ingrid Carolina; Corcio López de Beltrán, Claudia Patricia
La matemática actual se caracteriza por el predominio del álgebra, y se habla a menudo de la algebrización de todas las ramas de la tradicional matemática. Esta tendencia se origina en los trabajos geniales de Galois para dar solución definitiva al problema de hallar las raíces de las ecuaciones algebraicas, de donde surgió la noción de grupo. Más tarde apareció la teoría abstracta de grupos y otras teorías, como las de cuaternios y de matrices. Además tanto los cuaternios como las matrices contradicen la ley conmutativa de la multiplicación de números, según la cual el orden de los factores no altera el producto, como en el caso de las geometrías no euclidianas, se llegó por esta vía a un grado de abstracción mayor de las operaciones aritméticas y algebraicas, que se definen hoy únicamente por los axiomas que se desee que cumplan. En la actualidad el Álgebra Abstracta juega un papel muy importante en el estudio de la Matemática ya que en ella se involucran diversidad de contenidos lo que se centra en el estudio de conjuntos, estructura de grupo, categorías, anillos, módulos en donde estos se dividen en las importantes ramas de Campos y Teoría de Galois, Álgebra lineal, Anillos conmutativos y módulos y estructura de anillos entre otros. Toda esta teoría contribuye al estudio del álgebra homológica dentro de la cual se prende desarrollar la Teoría de multiplicidad y en base a esta poder demostrar la fórmula límite de Samuel.
Teoría del grado topológico de Brouwer. Aplicaciones al análisis y al cálculo de la variable compleja
(2013-09-16) Angulo Benítez, Erika Carmenlina; Canjura Linares, Carlos Mauricio; Peña Aguilar, Simón Alfredo
La teoría de grado topológico para funciones diferenciales con derivada continua y para valores regulares, posteriormente se alteran las restricciones con respecto a las tres variables inmersas en el estudio de la función grado, es decir, se modifican la función, el dominio y el punto; básicamente, levantaremos la restricción de la hipótesis relativa a que el valor sea regular, mediante el uso del lema de Sard; posteriormente a expensas de suavizar las funciones a través de un proceso de regularización, específicamente la convolución, finalmente llegamos a concretar la definición del grado topológico para funciones continuas; es durante todo este proceso en donde se presentan las principales propiedades que resultan ser fundamentales para las aplicaciones de la teoría de grado.

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