Licenciatura en Matemática

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https://hdl.handle.net/20.500.14492/162

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La conexión de levi-civita
(2017-08-01) Posada Menjívar, Karla María; Hidalgo Castellanos, Idalgo Américo
El presente trabajo está estructurado en cuatro capítulos. En el Capítulo I esta la teoría básica necesaria para la construcción de las variedades diferenciables, así como la variedad producto y los teoremas de la función inversa e implícita necesarias para sustentar dicha teoría. Se dan varios ejemplos para ilustrar la construcción de las diferentes variedades y clasificar grupos ya conocidos. Luego, en el Capítulo II, desarrollamos los conceptos de función diferenciable, vectores tangentes a una variedad y a un punto para luego definir el espacio tangente y cotangente, el primero dotado de espacios vectoriales y el segundo de 1-formas. En el Capítulo III se muestra la importancia que tienen los campos vectoriales al momento de definir los tensores, aquí los tensores están formados por campos vectoriales y por 1-formas, antes de finalizar el capítulo introducimos las formas bilineales simétricas las que nos serán de utilidad al momento de establecer una métrica. Para terminar introducimos el concepto de producto escalar y definimos el dual de un campo vectorial como dicho campo provisto de un producto interno. En el último capítulo comenzamos definiendo el corchete de Lie, así como sus propiedades, luego hablamos de las isometrías como una aplicación que conserva distancias y tensores métricos.
El cono de luz y el modelo del hiperboloide de la geometría hiperbólica tridimensional
(2019-01-27) Ochoa García, Víctor Mauricio; Cruz López, Manuel; Hidalgo Castellanos, Ernesto Américo; Tejada Tejada, Dimas Noé
En el presente trabajo hacemos un estudio del modelo del hiperboloide, prestando atención al espacio de Minkowski y al espacio de Lorentz de dimensión 3. En el capítulo 1 describiremos los elementos geométricos del modelo del hiperboloide, tales como. La métrica que se induce sobre este espacio, su grupo de transformación, la forma que tienen las geodésicas en este espacio. Además, se explicará la utilidad de este modelo geométrico en la relatividad especial de Einstein. En el capítulo 2 daremos un breve recorrido sobre la geometría diferencial sobre el espacio euclídeo R3, empezando con la teoría local de curvas, triedro de Frenet para curvas en el espacio R3 y la teoría local de superficies, la primera y segunda forma fundamental, aplicación de Gauss, curvatura media y gaussiana, concluyendo con el teorema de Gauss-Bonet. El tema que se estudia en el capítulo 3 se centra en la teoría local de curvas y superficies en el espacio de Lorentz R2,1, haremos una clasificación causal de las curvas a partir de su vector tangente y podremos apreciar que en este espacio surgen varios tipos de triedros de Frenet.
De la geometría sintética a la geometría hiperbólica
(2017-09-07) López Argueta, Saúl Fernando; Vásquez Hernández, Wilner Edenilson; Cruz López, Manuel; Hidalgo Castellanos, Ernesto Américo; Sifontes Rivas, Yoceman Adony
En el presente trabajo daremos una introducción a la geometría hiperbólica bidimensional desde el punto de vista geométrico. Se estudiarán tres modelos de la geometría hiperbólica, los cuales son: el modelo del semiplano superior de Poincaré, el modelo del disco de Poincaré y el modelo de Beltrami-Klein. Para hacer la descripción de estos modelos, necesitamos primero estudiar las herramientas euclidianas que nos servirán para la construcción de los objetos geométricos en cada uno de los modelos. La inversión geométrica y las familias de circunferencias coaxiales serán las herramientas que nos van a servir para hacer las construcciones antes mencionadas. Por lo tanto, en el capítulo 1 definimos la inversión geométrica y sus propiedades, así como también la familia de circunferencias coaxiales y sus propiedades con respecto a la inversión. Habiendo descrito las herramientas principales para hacer una descripción de cada modelo a estudiar de la geometría hiperbólica, describimos en el capítulo 2 los tres modelos antes mencionados, deducimos la métrica hiperbólica en el modelo del disco de Poincaré y estudiamos un poco de trigonometría en el modelo del semiplano superior de Poincaré
Estudio de cuádricas con geometría proyectiva
(2010-04-01) Pleitez Vásquez, Reina Maritza; Romero Cuadra, Ana Vidal; Hidalgo Castellanos, Ernesto Américo; Ramírez Flores, Aarón Ernesto
El estudio de la teoría sobre de las cuádricas con Geometría Proyectiva, aplicando conceptos, definiciones, y teoremas fundamentales, los cuales nos llevan a comprender la importancia de su aplicación en las diferentes ramas de la matemática y sus representaciones gráficas. Es por ello que en este trabajo se trata de desarrollar temas que están enfocados a comprender las cuádricas con geometría proyectiva y su importancia. Se desarrollará la noción de proyección, donde se dan definiciones importantes sobre la proyección, así como una descripción de que sucede si se agregan los puntos ideales o puntos al infinito, y que estos sean los centros de proyección, además el enriquecimiento que aportan estos nuevos conceptos. Se desarrollarán los conceptos de coordenadas homogéneas, que es fundamental para la comprensión de los puntos ideales o puntos al infinito, que facilitarán el manejo algebraico en el estudio del espacio proyectivo, el cual también incluye puntos complejos, así como la representación del espacio en diferentes dimensiones, y cambio de estructura de coordenadas, subespacios, hiperplanos y dualidad. Los más importantes teoremas de la Geometría Euclidiana, desarrollado con la Geometría Proyectiva, que es el Teorema de Desargues, y algunos resultados importantes adicionales. También se hará una introducción a proyectividades, razón cruzada, y transformaciones lineales. Se refleja la riqueza que tienen las cuádricas aplicando los conceptos de la geometría proyectiva, así como sus diferentes representaciones. Es importante mencionar que en el pasado el ser humano se ha visto favorecido por tales representaciones, facilitando la comprensión de su entorno, aunque muchas veces no esté consciente de los aspectos matemáticos que están involucrados.
Estudio de la Geometría fractal con aplicaciones a finanzas y Vulcanología
(2017-11-01) Rivas Morales, Milton Arnoldo; Campos Granados, Walter Otoniel
En el presente trabajo se dará conocer la vinculación que existe entre la Geometría fractal con la finanzas y Vulcanología poniendo así en evidencia la forma en como la Matemática está íntimamente relacionada con la realidad. El presente trabajo estará estructurado en cuatro capítulos, desarrollados como se detalla a continuación: En el capítulo uno se desarrolla el artículo: approximating distribution functions by iterated function systems. En el capítulo dos aplicamos la teoría desarrollada en el capítulo uno para analizar una base de datos de una entidad financiera y encontrar el valor operacional de la pérdidas totales y hacer predicciones sobre la entidad. En el capítulo tres se desarrolla los fundamentos matemáticos de la geometría fractal que nos permitirán desarrollar una aplicación en vulcanología, a una situación ideal, herramienta que nos sirve para comprender un los datos en el caso real. En este trabajo, realizamos a una aproximación de la dimensión de caja de la serie temporal de emisiones de CO2 en el año 2005 en el Volcán de San Salvador. En el desarrollo de los dos capítulos de aplicaciones es necesario utilizar software, que nos permita hacer cálculos de una manera más eficiente, en este sentido nos auxiliaremos de el software R.
Geometría de cuaterniones
(2018-12-01) Guevara Tobar, Marcela Guadalupe; Serrano Santos, Kevin Francisco; Martínez Barahona, Ingrid Carolina; Cruz López, Manuel
Nuestro propósito será explorar las propiedades básicas de los cuaterniones, como punto inicial; estudiar su analogía con los números complejos, y finalizar nuestra investigación presentando una aplicación muy importante y recientemente descubierta: la representación de la geometría tridimensional de las proteínas. En el capítulo 1, estudiaremos la estructura algebraica de los cuaterniones y la relación que poseen con las rotaciones tridimensionales, las cuales podemos caracterizar por un solo cuaternión gracias a la correspondencia que existe entre SO3, el grupo de matrices ortogonales, y S3. Además, debido a la dificultad para visualizar un cuaternión, se estudiarán métodos de visualización de los cuaterniones unitarios a través de proyecciones hacia R3 y R2. En el capítulo 2, estudiaremos la geometría diferencial de curvas, principalmente el triedro de Frenet-Serret, el cual nos permitirá asociar un sistema de referencia a cada punto de una curva parametrizada diferenciable, y conocer cómo se comporta la curva en el espacio. Finalmente, en el capítulo 3, definiremos los marcos de referencia cuaterni_onicos, y estableceremos su relación con el estudio de la estructura secundaria de proteínas. Veremos que es posible asociar un cuaternión a un triedro por medio de una rotación que va desde el triedro o marco identidad hacia el triedro deseado, a través de la denominada aplicación.
Geometría y otros delirios : geometría proyectiva desde las perspectivas sintética y algebraica
(2008-07-01) Ramírez Flores, Aarón Ernesto; Canjura Linares, Carlos Mauricio; Marroquín, Francisco
La idea central del presente texto es hacer un contrapunto entre el desarrollo teórico de la Geometría desde sus distintas facetas, específicamente de la Geometría Proyectiva. Por una parte se tiene el conocimiento profundo de la Geometría Sintética, elegante legado de los griegos, y por otra parte, la visión contemporánea, con su desarrollo teórico amplio y general. La combinación de estos modos de pensamiento impactó profundamente la matemática de los últimos tres siglos, como resultado, la visión geométrica actual dista mucho de la original, con mucha variedad en cuanto a sus vínculos con otras áreas matemáticas, y con muchas ideas primitivas para nada obsoletas.
Grupos de lie de matrices reales o complejos
(2011-11-01) Aguilar Martínez, Edwin Alexander; Peña Aguilar, Simón Alfredo; Campos Granados, Walter Otoniel
Como la historia lo viene diciendo, en general los resultados importantes y trascendentales en Matemática son los capaces de vincular dos estructuras, en su esencia, totalmente distintas. En el año 1973, el matemático Noruego Marius Sophus Lie (1849-1925) estudiando propiedades de soluciones de sistemas de ecuaciones diferenciales, dio origen a las ideas que conformaron la hoy denominada Teoría de Lie, la cual plantea la relación entre geometría, álgebra y la topología, este matemático creó en gran parte la teoría de la simetría continua, y la aplicó al estudio de la geometría y las ecuaciones diferenciales. Con aportes posteriores de los matemáticos Weyl, Cartan, Chevalley, Killing, Harish Chandra y otros estructuran la teoría de Lie, se presentan en este trabajo de investigación las nociones básicas que subyacen en dicha teoría. En los primeros trabajos de Sophus Lie, la idea subyacente era construir una teoría de grupos continuos, que complementara la ya existente teoría de grupos.
Números p-ádicos y aplicaciones en álgebra, geometría y teoría de números
(2023-03-31) Córdova Soriano, Ricardo José
Córdova Soriano, Ricardo José. 2023. Números p-ádicos y aplicaciones en álgebra, geometría y teoría de números. Trabajo de graduación de Licenciatura en Matemática. San Salvador, Universidad de El Salvador. Los números p-ádicos fueron motivados por Kurt Hensel principalmente en un intento de llevar las ideas y técnicas de los métodos de las series de potencias a la teoría de números. Ahora, su influencia se extiende mucho más allá del propósito inicial, ya que posee una estructura analítica y algebraica que le da a este sistema numérico una gran utilidad, la cual se trata de exponer a lo largo de este trabajo. Por consiguiente, esta tesis exhibe: el teorema de Monsky como motivación, definiciones básicas y construcción de los números p-ádicos, algunos aspectos del análisis de sucesiones y series p-ádicas, el teorema de Mahler para funciones continuas, y por último, una aplicación del teorema de Mahler, para calcular funciones p−ádicas ergódicas a través de los coeficientes de su serie de Mahler.
Propuesta metodológica para el estudio de las nociones fundamentales de sistemas dinámicos, geometría fractal y teoría del caos usando el software Mathematica
(2009-08-01) Hernández Morales, Oscar Armando; Guerra Cáceres, Martín Enrique; Cardona Fuentes, Riquelmi Salvador
Las matemáticas, como muchas otras áreas del pensamiento, han sufrido en el tercio central del siglo XX el impacto de la corriente filosófica estructuralista. Esta tendía a desplazar el centro de atención hacia los problemas de fundamentación por una parte, y por otra subrayaba la importancia de las estructuras abstractas como la de conjunto, grupo u otras, que se presentan en diversas áreas de las matemáticas. En general la corriente estructuralista impregna a las matemáticas de los métodos del álgebra y es compañera inevitable de una tendencia hacia la abstracción. El estructuralismo ha estado lejos de ser un factor determinante en el desarrollo de la producción matemática en el último siglo, ya que el volumen ingente de investigación volcada hacia las aplicaciones ha pesado de forma decisiva en el resultado global. Sin embargo, es en el ámbito de la enseñanza de las matemáticas donde la influencia del estructuralismo ha sido más profunda, penetrando en los programas a todos los niveles educativos y provocando que al estudiar matemáticas, los estudiantes se queden con la impresión de que no hay nada nuevo en matemáticas desde Euclides o Pitágoras, es decir, desde hace más de 2000 años. Con un poco de suerte, algunos se cree que las matemáticas dejaron de desarrollarse después de la creación del cálculo diferencial e integral (hace unos 300 años), en cambio no tenemos la misma impresión sobre otras ciencias como física, química o biología. La geometría fractal, cuyos primeros desarrollos datan de finales del siglo XIX, ha recibido durante los últimos treinta años, desde la publicación de los trabajos de Mandelbrot, una atención y un auge crecientes. Lejos de ser simplemente una herramienta de generación de impresionantes paisajes virtuales, la geometría fractal viene avalada por la teoría geométrica de la medida y por innumerables aplicaciones en ciencias tan dispares como la Física, la Química, la Economía o, incluso, la Informática.
El teorema local de GAUSS-BONNET
(2015-01-01) Rodríguez Argueta, Wendy Stefanía; Velásquez Orellana, Erick Ulises; Campos Granados, Walter Otoniel; Aguilar Martínez, Edwin Alexander
Se presentan los fundamentos teóricos que sustentan nuestra investigación, definiendo lo que es superficie regular, que es sobre lo que estaremos trabajando, así como también, el plano tangente en un punto p de dicha superficie y la primera forma fundamental con la que podemos tratar cuestiones métricas sobre una superficie regular. El objetivo del Capítulo Dos es estudiar la geometría local de la superficie como la clasificación de puntos que nos dará la forma de la superficie en el entorno de un punto, además presentar las diferentes tipos de curvas que pasan por un punto p de la superficie regular. Se presenta la versión local del Teorema de Gauss-Bonnet y una fórmula general de mismo, para luego ilustrar sobre algunas aplicaciones del teorema en su evolución global en la física teórica.
Transformaciones de Möbius: clasificación y aplicaciones
(2009-12-01) Guzmán Melara, Rosa Estela; Hidalgo Castellanos, Ernesto Américo; Ramírez Flores, Aarón Ernesto
La teoría básica de las Transformaciones de Möbius, es decir similitudes (traslación, rotación y dilatación). Por la definición de las transformaciones de Möbius, se puede decir que las similitudes, que son las transformaciones de la forma S(z) = az + b , son casos particulares de las transformaciones de Möbius. Es por ello que se estudiará detenidamente desde un enfoque analítico y geométrico cada una de ellas, así como también la inversión compleja, la inversión geométrica y la proyección estereográfica. Se estudiarán las principales propiedades de las transformaciones de Möbius, entre estas que las transformaciones de Möbius son transformaciones conformes y que dejan invariante la razón cruzada, así como también una propiedad que es muy importante para su clasificación; toda transformación de Möbius no degenerada tiene a lo sumo dos puntos fijos, a menos que sea la identidad. Se clasificarán las Transformaciones de Möbius según sus puntos fijos, ilustrando el comportamiento analítico y geométrico de cada clase resultante: parabólicas, hiperbólicas, loxodrómicas y elípticas. Así mismo, se estudiará otra clasificación de transformaciones Möbius de acuerdo a la traza de la matriz que determina cada transformación de Möbius.
Triangulo de Hosoya - Su geometria y propiedades del mcd
(2023-04-12) Rivera Rivera, Alejandro Ernesto
El capítulo uno es una introducción al triángulo de Hosoya de manera general, en el cual se desarrollan las definiciones, teoremas y resultados básicos que son necesarios para comprender el resto de capítulos. Se probarán una serie de propiedades de los números de Fibonacci.
Triángulo de Hosoya: Su geometría y propiedades del mcd
(2022-02-08) Parada Barrera, Carmen Elizabeth; Rivera Rivera, Alejandro Ernesto; Galdámez Constante, Mirna Guadalupe; Bonilla Mejía, Luisantos
El triángulo de Hosoya es un arreglo triangular de números que se asemeja al triángulo de Pascal basado en los números de Fibonacci. Las dos diagonales más externas son los números de Fibonacci, mientras que los números de la línea vertical central son los cuadrados de los números de Fibonacci. Todos los demás números resultan ser la suma de los dos números anteriores en la diagonal izquierda o en la diagonal derecha. En este trabajo se estudian las propiedades del máximo común divisor mcd de algunas configuraciones geométricas en el triángulo de Hosoya. En particular, las propiedades del mcd de una configuración especial en el triángulo de Hosoya llamada La estrella de David, la cual se forma por los vértices de dos triángulos de un hexágono regular en el triángulo de Hosoya. Se demuestra que el producto de todos los puntos en una estrella de David de longitud dos en el triángulo de Pascal forma un cuadrado perfecto, de igual forma que el mcd de cada triángulo de la estrella de David de longitud dos en el triángulo de Pascal da el mismo número. Estas propiedades se denominan Propiedades de producto y mcd, respectivamente. Se muestra que ambas propiedades son ciertas para cualquier estrella de David de longitud 2 en el triángulo de Hosoya, es importante mencionar que estas propiedades pueden ser generalizadas. Se estudian las propiedades geométricas dentro del triángulo de Hosoya, algunas de las propiedades de los números de Fibonacci las veremos ahora con interpretación geométrica. Se proporciona pruebas geométricas de identidades clásicas usando el triángulo de Hosoya.

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