Licenciatura en Matemática

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https://hdl.handle.net/20.500.14492/162

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Ajuste de un modelo SEIR para la tuberculosis en El Salvador
(2013-08-30) Herrera Polanco, Diana Marcela; Lovo Córdoba, Mauricio Hernán; Gámez Hernández, Carlos Ernesto
En el presente trabajo se aborda un modelo epidemiológico SEIR para la tuberculosis. Para su estudio se han incluido teorías básicas sobre la existencia, unicidad y estabilidad de soluciones de sistemas de ecuaciones diferenciales obteniéndose una caracterización de las soluciones por medio de sus puntos singulares, estabilidad e inestabilidad de los mismos, y el parámetro umbral R0. Se realizaron simulaciones del modelo utilizando MATLAB para poder contrastar la teoría con los resultados empíricos.
Algunos cálculos de K-grupos algebraicos
(2017-11-23) Moreno Ramírez, Juan José; Chicas Reyes, Gabriel Alexander
La teoría K algebraica es una rama de las matemáticas que cimenta su estudio en calcular ciertos grupos abelianos a partir de un anillo dado y que se conecta con áreas como geometría, teoría de anillos y teoría de números. Los K-grupos obtenidos tienen mucha información acerca de los anillos que los generan; sin embargo, existe mucha dificultad notoria de calcularlos. Esta investigación comprende un desarrollo progresivo de diferentes etapas que inicia desde la recopilación bibliográfica hasta la comprensión de muchas teorías que van inmersas y que son fundamentales, como teoría de módulos y teoría de categorías.
Análisis de las ecuaciones de Lotka- Volterra y algunas de sus variantes
(2013-08-01) Méndez Hernández, Argelio; Barrera Escobar, Rhina Verónica; Lovo Córdoba, Mauricio Hernán; Chicas Batres, Francisco Antonio
Un modelo matemático es un conjunto de expresiones que caracterizan la evolución de las variables de estado o bien de las salidas del sistema para distintas situaciones. El objetivo fundamental de este trabajo es describir y analizar las ecuaciones de Lotka-Volterra y tres de sus variantes. 1. Modelo clásico con ajuste logístico. 2. Modelo presas con refugios. 3. Modelo de Leslie. Este tipo de modelos matemáticos estudian interacciones de poblaciones de dos especies en el cual hay depredadores y presas, donde los depredadores dependen fundamentalmente de las presas. Cada modelo incluye diferentes parámetros poblacionales que completan dichas ecuaciones y de ellos depende su comportamiento. Para realizar el estudio de estos modelos se han utilizado conceptos de análisis matemático y la teoría de sistemas dinámicos para analizar los puntos de equilibrio y como interpretar el concepto de estabilidad en estos puntos. Además hemos apoyado nuestro análisis con el uso del programa MATLAB, que nos permitió observar las soluciones y sus respectivos campos fase de manera gráfica, concreta y acertada, simulando diferentes situaciones para cada uno de los modelos descritos.
Aplicación de los anillos noetherianos conmutativos y las variedades algebraicas afines en la demostración del teorema de los ceros de Hilbert
(2011-08-26) Portillo Rivas, Zenón; Campos Chiquillo, Álvaro; Corcio López de Beltrán, Claudia Patricia; Martínez Barahona, Ingrid Carolina
Se desarrolla un estudio de todas las herramientas necesarias para llegar al teorema de los ceros de Hilbert el cual luego se demuestra en sus formas débil y fuerte. Se introducen los conceptos básicos relacionados con los anillos noetherianos y las variedades algebraicas afines que son fundamentales para el estudio del teorema de los ceros de Hilbert. Es por ello que estudiamos detenidamente el concepto de ideal primo e ideal primario, como también las distintas operaciones entre ideales, en particular la descomposición primaria de ideales. En seguida se desarrollan las demostraciones de algunos de los teoremas importantes de los anillos noetherianos, haciendo uso de la descomposición primaria de un ideal y un resultado fundamental: el teorema de la base de Hilbert. Además se desarrollan las definiciones, proposiciones, teoremas de una variedad algebraica afín y el ideal asociado a una variedad, así como también el ideal de una variedad y lo más interesante es la descomposición de ideales en variedades algebraicas afines, como la condición de cadena descendente de variedades. También se hace la aplicación de los resultados obtenidos en los capítulos anteriores, para demostrar el teorema de los ceros de Hilbert en su forma dedil así como en la forma fuerte. Finalmente adoptamos una Topología que es muy débil pero sorprendentemente útil ocupando los resultados anteriores, probando propiedades que cumple esta topología como la cerradura topológica y compacidad.
Aspectos teóricos en la generación de variables aleatorias
(2016-05-01) López de Bermúdez, Norma Yolibeth; Gámez Rodríguez, Norma Yolibeth
El Método de Monte Carlo es un método numérico para el manejo de números aleatorios. Estos permiten realizar simulaciones muy complejas de manera eficiente, además, es aplicable a cualquier tipo de problema, ya sea estocástico o determinístico. Generalmente en estadística los modelos aleatorios se usan para simular fenómenos que poseen algún componente aleatorio. Una secuencia de número aleatorios es aquella en la cual es imposible predecir cuál será el siguiente número de la secuencia. En computación las secuencias de números aleatorios que se usan son en realidad pseudo-aleatorios, puesto que son generados por un algoritmo que se encarga que dicha secuencia sea lo suficientemente impredecible y que no se repita en ciclos. Estos algoritmos utilizan una semilla o número inicial como punto de partida para la generación de la secuencia. Dos secuencias serán iguales si son generadas con la misma semilla y por tanto es recomendable usar distintas semillas en cada simulación para variar la secuencia de números aleatorios que se utiliza. Además, esta secuencia de números aleatorios se suele construir con distribución uniforme dentro del intervalo (0,1), es decir, si se escoge una cantidad suficientemente grande de números de la secuencia se obtendrá la misma densidad de ellos en cada fracción de dicho intervalo. La mayor parte de los lenguajes de programación incluyen su propio algoritmo de generación de secuencias de números aleatorios uniformemente distribuidos en el intervalo (0,1), y es ésta la que se usa como partida para la generación de distribuciones más complejas mediante la utilización de métodos Monte Carlo. En el Método Monte Carlo, por otro lado, el objeto de la investigación es el objeto en sí mismo, un suceso aleatorio o pseudo-aleatorio se usa para estudiar el modelo.
Categorías aplicadas a la teoría de álgebra de Banach
(2021-05-05) Muñoz Deras, Erick Amílcar; Ramírez Flores, Aarón Ernesto; Chicas Reyes, Gabriel Alexander
En esta tesis se pretende emplear la teoría de categorías para obtener resultados de forma más eficiente en el estudio de álgebras de Banach. En particular, consideraremos algunas estructuras y transformaciones que son útiles para clarificar la demostración del teorema de Gelfand-Naimark. Estas estructuras y transformaciones pueden tratarse como ejemplo de elementos básicos de la teoría de categorías. Las estructuras más importantes con las que trabajaremos son las categorías cuyos objetos son espacios topológicos (Top), espacios de Hilbert (Hil), espacios de Banach (Ban) y álgebras C* conmutativas.
Clasificación de superficies compactas através de la representación planar y la demostración del teorema de Seifert-Van Kampen
(2016-02-03) Flores Tejada, Jorge Balmore; Hidalgo Castellanos, Ernesto Américo
Una delas áreas más importantes para todo matemático es la topología, ya que se encuentra presente en casi todas las áreas de las matemáticas: en el álgebra, la geometría, en análisis, etc. Sus métodos y sus resultados facilitan el tratamiento de numerosos problemas e incluso permiten abordar otros que no tienen un origen estrictamente topológico. Uno de los problemas básicos en topología es determinar si dos espacios topológicos dados son homeomorfos. No hay un método para resolver este problema en general, pero existen técnicas que se aplican en casos particulares. Demostrar que dos espacios son homeomorfos consiste en construir una aplicación continua de uno en otro que tenga inversa continua, y para resolver el problema de construcción de aplicaciones continuas, se han desarrollado una serie de técnicas que permiten tales construcciones. Se presentan algunos invariantes topológicos de naturaleza algebraica, tal como el grupo fundamental, además se desarrollara la clasificación de superficies compactas utilizando su representación planar. Esto exige un cierto conocimiento de la teoría de grupos, y especialmente, de la teoría de grupos abelianos o conmutativos. Se trata, en esencia, de asociar ciertas estructuras algebraicas (especialmente ciertos grupos algebraicos y ciertos homomorfismos de grupos) a los espacios topológicos y a las aplicaciones continuas definidas entre estos espacios. En el primer capítulo la clasificación de superficies compactas utilizando su representación planar en el segundo capítulo se define el grupo fundamental y sus propiedades y por último se hará la demostración del teorema de Seifert y Van Kampen.
Clasificación y estructura de grupos finitos con apoyo del recurso computacional GAP (Groups, Algorithms, Programming)
(2013-09-01) Ruiz Mejía, Mario Alexis; Martínez Barahona, Ingrid Carolina
La presente memoria se desarrolla dentro del marco de la Teoría de Grupos Finitos; concretamente se estudia la relación existente entre la estructura de un grupo y los tamaños de las órbitas de conjugación de sus elementos. Estudiar el orden de un grupo es una forma clásica para obtener información sobre las propiedades estructurales de él. En los últimos años se han abierto nuevas líneas de investigación que dan cabida al estudio estructural del grupo a partir de los tamaños de ciertos tipos subconjuntos: subgrupos, subgrupos cíclicos, subgrupos normales, órbitas, p-subgrupos de Sylow, normalizadores, estabilizadores, centralizadores, entre otros. Un área poco investigada, con aplicaciones en el propio campo, otras áreas de la matemática y ciencias.
La conexión de levi-civita
(2017-08-01) Posada Menjívar, Karla María; Hidalgo Castellanos, Idalgo Américo
El presente trabajo está estructurado en cuatro capítulos. En el Capítulo I esta la teoría básica necesaria para la construcción de las variedades diferenciables, así como la variedad producto y los teoremas de la función inversa e implícita necesarias para sustentar dicha teoría. Se dan varios ejemplos para ilustrar la construcción de las diferentes variedades y clasificar grupos ya conocidos. Luego, en el Capítulo II, desarrollamos los conceptos de función diferenciable, vectores tangentes a una variedad y a un punto para luego definir el espacio tangente y cotangente, el primero dotado de espacios vectoriales y el segundo de 1-formas. En el Capítulo III se muestra la importancia que tienen los campos vectoriales al momento de definir los tensores, aquí los tensores están formados por campos vectoriales y por 1-formas, antes de finalizar el capítulo introducimos las formas bilineales simétricas las que nos serán de utilidad al momento de establecer una métrica. Para terminar introducimos el concepto de producto escalar y definimos el dual de un campo vectorial como dicho campo provisto de un producto interno. En el último capítulo comenzamos definiendo el corchete de Lie, así como sus propiedades, luego hablamos de las isometrías como una aplicación que conserva distancias y tensores métricos.
El cono de luz y el modelo del hiperboloide de la geometría hiperbólica tridimensional
(2019-01-27) Ochoa García, Víctor Mauricio; Cruz López, Manuel; Hidalgo Castellanos, Ernesto Américo; Tejada Tejada, Dimas Noé
En el presente trabajo hacemos un estudio del modelo del hiperboloide, prestando atención al espacio de Minkowski y al espacio de Lorentz de dimensión 3. En el capítulo 1 describiremos los elementos geométricos del modelo del hiperboloide, tales como. La métrica que se induce sobre este espacio, su grupo de transformación, la forma que tienen las geodésicas en este espacio. Además, se explicará la utilidad de este modelo geométrico en la relatividad especial de Einstein. En el capítulo 2 daremos un breve recorrido sobre la geometría diferencial sobre el espacio euclídeo R3, empezando con la teoría local de curvas, triedro de Frenet para curvas en el espacio R3 y la teoría local de superficies, la primera y segunda forma fundamental, aplicación de Gauss, curvatura media y gaussiana, concluyendo con el teorema de Gauss-Bonet. El tema que se estudia en el capítulo 3 se centra en la teoría local de curvas y superficies en el espacio de Lorentz R2,1, haremos una clasificación causal de las curvas a partir de su vector tangente y podremos apreciar que en este espacio surgen varios tipos de triedros de Frenet.
Una construcción recursiva del conjunto de los números primos
(2015-10-01) Carranza Tejada, Oscar Gustavo; Ruíz Mejía, Mario Alexis; Hidalgo Castellanos, Ernesto Américo
Se comienza motivando la construcción y surgimiento de la fórmula, luego se enuncia y demuestra detalladamente para analizar esbozando el método de demostración con dos ejemplos. Este trabajo tiene un enfoque puramente teórico, esta fórmula garantiza que es posible construir el conjunto de los números primos y una manera de como calcularlos. Este método no es eficiente para calcular números primos, por este motivo expresamos que es un aporte teórico y no práctico.
Construcción y validación de una descomposición genética del concepto de solución de una ecuación diferencial de primer orden
(Universidad de Granada, 2013-01-01) Guerra Cáceres, Martín Enrique; Mirón, Carmen Enrique
Desde la perspectiva de la Teoría APOS (Actions, Process, Objects, Schemas) y la metodología RUMEC (Research in Undergraduate Mathematics Education Community), en este trabajo se construye y valida una Descomposición Genética del concepto de solución de una Ecuación Diferencial Ordinaria (EDO) de primer orden, que pretende favorecer la coordinación flexible de los métodos cuantitativos y cualitativos comunmente usados en el estudio de las soluciones de una ecuación diferencial. Los métodos cuantitativos, privilegian los modos de trabajo algebraico, simbólico y algorítmico y se enfocan a la resolución explícita o numérica de las ecuaciones. Los métodos cualitativos, combinan técnicas analíticas, geométricas y visuales para obtener información sobre el comportamiento de las soluciones, sin llegar a resolver explícitamente la ecuación. Ambos métodos se complementan entre sí, fortalecen la comprensión matemática y ayudan a tratar las restricciones y las consecuentes limitaciones que aparecen cuando se usa la tecnología para estudiar las soluciones de una ecuación diferencial. A partir de esta descomposición genética se han elaborado y experimentado secuencias de aprendizaje, la cuales permiten recoger una variedad de producciones orales y escritas (exámenes, tareas y entrevistas) de los estudiantes cuando se enfrentan a tareas que demandan describir el comportamiento de las soluciones de una ecuación diferencial de primer orden. Estas producciones se han analizado para determinar hasta qué punto y cómo los estudiantes utilizan y coordinan los aspectos gráficos y algebraicos relacionados al concepto de solución de una EDO, qué dificultades muestran y cómo intentan vencer dichas dificultades. Los resultados obtenidos permiten afirmar que la Descomposición Genética y las correspondientes secuencias de aprendizaje han permitido desequilibrar el modo de pensamiento procedimental, algebraico y algoritmico predominante en los estudiantes y, a la vez, han provocado la necesidad de reequilibrarlo con objetos, acciones y procesos de corte cualitativo, superando la exclusividad de los procesos de algebrización y algoritmización a que ha estado sometida la enseñanza y el aprendizaje de ésta disciplina durante mucho tiempo.
De la geometría sintética a la geometría hiperbólica
(2017-09-07) López Argueta, Saúl Fernando; Vásquez Hernández, Wilner Edenilson; Cruz López, Manuel; Hidalgo Castellanos, Ernesto Américo; Sifontes Rivas, Yoceman Adony
En el presente trabajo daremos una introducción a la geometría hiperbólica bidimensional desde el punto de vista geométrico. Se estudiarán tres modelos de la geometría hiperbólica, los cuales son: el modelo del semiplano superior de Poincaré, el modelo del disco de Poincaré y el modelo de Beltrami-Klein. Para hacer la descripción de estos modelos, necesitamos primero estudiar las herramientas euclidianas que nos servirán para la construcción de los objetos geométricos en cada uno de los modelos. La inversión geométrica y las familias de circunferencias coaxiales serán las herramientas que nos van a servir para hacer las construcciones antes mencionadas. Por lo tanto, en el capítulo 1 definimos la inversión geométrica y sus propiedades, así como también la familia de circunferencias coaxiales y sus propiedades con respecto a la inversión. Habiendo descrito las herramientas principales para hacer una descripción de cada modelo a estudiar de la geometría hiperbólica, describimos en el capítulo 2 los tres modelos antes mencionados, deducimos la métrica hiperbólica en el modelo del disco de Poincaré y estudiamos un poco de trigonometría en el modelo del semiplano superior de Poincaré
Desarrollo de la teoría básica de grupos libres y sus teoremas fundamentales
(2011-02-13) Regalado Bonilla, Clara Victoria; Corcio López de Beltrán, Claudia Patricia; Martínez Barahona, Ingrid Carolina
Los Grupos Libres son una área de la Teoría de Grupos, que no es profundizada en la Licenciatura en Matemática, esto, debido al bajo contenido en algebra que posee el pensum, razón por la cual, el propósito del trabajo es mostrarse como una opción para una materia electiva. Con toda la investigación y desarrollo realizado, se ha creado un trabajo apto para que un estudiante pueda leerlo y comprenderlo por sí solo, ya que posee todas las herramientas básicas para su completo entendimiento. Se ha descrito paso a paso, el proceso realizado para la demostración de los teoremas, lemas, proposiciones y corolarios, al igual que los ejercicios, que ayudan a la comprensión de los capítulos. Algunos de los ejemplos presentados son de utilidad para la demostración de los teoremas más importantes. Estos resultados relevantes fueron los objetivos trazados al inicio de la investigación. Dentro del proceso realizado durante el desarrollo del tema está, la intensa búsqueda bibliográfica en libros, revistas y artículos en internet, del cual se escogió lo más importante que permitió obtener como resultado los capítulos con la información principal, en la que se fueron desarrollando los teoremas, corolarios, lemas y proposiciones, a esto se le agregaron los diferentes tipos de ejercicios resueltos. Finalizando con la presentación de los resultados.
Desarrollo de las álgebras y complejos de Koszul
(2009-08-10) Chafoya Castro, Patricia Judith; Peña Jandres, Claudia Yanira; Marroquín, José Francisco; Corcio López de Beltrán, Claudia Patricia
En esta tesis se aborda el problema de obtener una versión certificada de un resultado fundamental en álgebra homológica, conocido como “Desarrollo de las álgebras y complejos de Koszul”. Las principales motivaciones de nuestro trabajo consisten en aumentar nuestro conocimiento sobre la naturaleza del álgebra homológica y topología algebraica de dicho resultado matemático, así como evaluar las distintas posibilidades que ofrecen los complejos de Koszul y álgebras de Koszul para demostrar teoremas en álgebra homológica, y a la vez las aplicaciones en álgebra homológica.
Descripción y caracterización de los esquemas conceptuales del concepto de solución de una ecuación diferencial de primen orden en estudiantes que han concluido una asignatura bajo el enfoque tradicional. Un estudio de casos
(Universitat Autonoma de Barcelona, 2002-05-10) Guerra Cáceres, Martín Enrique; Bibiloni, Lluís
La investigación didáctica reporta que limitar el proceso de enseñanza y aprendizaje del Cálculo al registro algebraico/algorítmico genera en los estudiantes esquemas conceptuales y habilidades demasiado rígidas, así como capacidades muy pobres para transferir los conocimientos más allá de las asignaturas en que estos se estudian. Evidentemente, todo ello, contrasta con las exigencias de orden científico, tecnológico y educativo que se demandan hoy en día de los diferentes currículos, de cara a las necesidades académicas y profesionales de los estudiantes. Por ejemplo, las habilidades para leer e interpretar información gráfica, así como convertir información cuantitativa en un formato cualitativo, y viceversa, tienen un valor práctico y educativo incuestionable. Asimismo, la habilidad de enfrentarse y resolver con eficacia tareas en su campo de estudio o trabajo, son sumamente importantes. En consecuencia, se cuenta con una variedad rica de propuestas curriculares y materiales que se fundamentan en la articulación de los diferentes sistemas de representación semiótica, los aspectos fenomenológicos relacionados con los conceptos matemáticos, así como en el desarrollo de las habilidades cognitivolingüísticas de los estudiantes.
Diferentes demostraciones del teorema del número primo
(2015-02-01) Morales Arévalo, Santos Wilmar; Campos Granados, Walter Otoniel; Aguilar Martínez, Edwin Alexander
Se presenta el teorema del número primo, este teorema, que es uno de los más bellos e importantes en la historia de la matemática. Se hace no solo una demostración de este teorema, sino dos demostraciones. En un principio fue conjeturado por Adrien-Marie Legendre en 1798, y posteriormente ha sido refinada por Gauss con la expresión que actualmente se asocia más frecuentemente al teorema. Sin embargo, los primeros matemáticos en demostrar el TNP, lo hicieron en forma independiente, ellos son J. Hadamard y C.J. de la Vallée-Poussin en 1896. A esta demostración le denominamos TNP versión analítica, porque utiliza la teoría de funciones analíticas de una variable compleja definida en cierta parte del plano. A partir de entonces surgen más demostraciones, hasta llegar al año de 1949, donde los matemáticos P. Erdös y A. Selberg encontraron una prueba elemental (pero no sencilla) del TNP, a esta demostración del teorema la denominamos TNP versión elemental, porque utilizaron argumentos de naturaleza elemental. Una simplificación drástica del TNP la dio D.J Newman en 1980, esta demostración es la realizó a detalle, la cual es una versión analítica del teorema. También se realizó la demostración del TNP versión elemental hecha por A. Selberg (la forma simplificada Levinson y Wright). Se comparó y revisó la evolución de estas dos pruebas, inclusive la prueba analítica presentada por Hadamard y C.J de la Vallé-Poussin.
Diseño, implementación y evaluación de una descomposición genética de los procesos y conceptos de la noción de ecuación diferencial de primen orden
(Universitat Autonoma de Barcelona, 2002-05-10) Guerra Cáceres, Martín Enrique; Bibiloni, Lluís
En muchas investigaciones didácticas (Artigue, 1991; Baker, Cooley y Trigueros, 2000; Bookman y Friedman, 1994; Cornu, 1991; Ferrini-Mundy y Graham, 1994; Monk y Nemirovsky, 1994; Hauk, Mason, Selden y Selden, 1999) se reporta que limitar el proceso de enseñanza y aprendizaje del Cálculo al registro algebraico y algorítmico no garantiza en absoluto la comprensión de los conceptos básicos. Y, por el contrario, se generan en los estudiantes esquemas conceptuales y habilidades demasiado rígidas, así como capacidades muy pobres para transferir los conocimientos más allá del contexto en el cual éstos se adquirieron, impidiéndose así su progreso hacia niveles superiores de pensamiento.
Ecuaciones diferenciales con retardo discreto y aplicaciones
(2016-01-01) Regalado Bonilla, Alejandra Natalia; Peña Aguilar, Simón Alfredo
El uso de las ecuaciones diferenciales con retardo discreto tiene un amplio campo de aplicación, en general no es posible encontrar de manera analítica la solución, por lo que debe hacerse uso de métodos numéricos y de recursos computacionales para calcularse, a fin de evitar trabajo innecesario es de suma importancia conocer las limitaciones que impone la estabilidad de dichas ecuaciones. El análisis aplicado a las soluciones para su descripción es similar a una ecuación diferencial ordinaria, tal es el caso de la ecuación característica, sin embargo la complejidad agregada por el retardo es considerable, pues debe tomarse soluciones en función de τ , y estudiar productos de los parámetros con el retardo.
Espacios de funciones holomorfas en un abierto de C e introducción al estudio de las transformaciones conformes
(2015-09-23) Hernández Carpio, Mario Enrique; Peña Aguilar, Simón Alfredo

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